Question

已知x≠1，計(jì)算（1+x）（1-x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴．
（1）觀察以上各式并猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

 

（n為正整數(shù)）；
（2）根據(jù)你的猜想計(jì)算：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=

 

；    
②2+2²+2³+2ⁿ=

 

（n為正整數(shù)）；
③（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=

 

；      
（3）通過以上規(guī)律請(qǐng)你進(jìn)行下面的探索：
①（a-b）（a+b）
②（a-b）（a²+ab+b²）
③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）

Answer 1

考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)題意易得（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）利用猜想的結(jié)論得到①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=1-64=-63；
②先變形2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1），然后利用上述結(jié)論寫出結(jié)果；
③先變形得到（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-（1-x）（1+x+x²+…+x⁹⁹），然后利用上述結(jié)論寫出結(jié)果；
（3）根據(jù)規(guī)律易得①（a-b）（a+b）=a²-b²；②（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴．

解答：解：（1）（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=1-64=-63；
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2；
③（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-（1-x）（1+x+x²+…+x⁹⁹）=-（1-x¹⁰⁰）=x¹⁰⁰-1；
（3）①（a-b）（a+b）=a²-b²；
②（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；
③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴．
故答案為1-xⁿ⁺¹；-63；2ⁿ⁺¹-2；x¹⁰⁰-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．