Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）和B（4，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，-2）．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）若點(diǎn)D在此拋物線上，且AD∥CB，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（4，0）和點(diǎn)C（0，-2）三點(diǎn)，列出三元一次方程組，解出a、b和c即可；
（2）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），根據(jù)AD∥BC，兩直線斜率相等，列式求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再證明出△ABC是直角三角形，然后分類(lèi)討論：①當(dāng)∠E是直角時(shí)，兩三角形相似，根據(jù)比例關(guān)系求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，②當(dāng)∠D是直角時(shí)，兩三角形相似，根據(jù)比例關(guān)系求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-2

，
解得：

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0）
∵AD∥CB，
∴兩直線的斜率相等，
∴k_AD=k_BC，
∴

y+1

x

=

0-(-2)

4-0

=

1

2

，
∴y+1=

1

2

x，
又∵點(diǎn)D在拋物線上，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
聯(lián)立兩式解得D點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3），
連接AC，AC=

5

，BC=2

5

，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ACB是直角三角形，
①若Rt△ACB∽R(shí)t△DEA，如圖1所示，連接BC，AC，作AD∥BC，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵AD∥AC，
∴∠DAB=∠ABC，
∵Rt△ACB∽R(shí)t△DEA，
∴

AC

DE

=

AB

AD

=

BC

AE

，
∴

5

3

=

5

3 5

=

2 5

a+1

，
當(dāng)a=5時(shí)，等式成立，
∴當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）時(shí)，Rt△ACB∽R(shí)tAED；
②若Rt△ACB∽R(shí)t△EDA，如圖2所示，連接BC，AC，作AD∥BC，作DE⊥AD交x軸于點(diǎn)E，
∵AD∥AC，
∴∠DAB=∠ABC，
∵Rt△ACB∽R(shí)t△EDA，
∴

AB

AE

=

BC

AD

，即

2 5

3 5

=

5

a+1

，
解得a=

13

2

，
∴AE=

15

2

，根據(jù)勾股定理求出DE=

3 5

2

，
檢驗(yàn)：

AC

DE

=

AB

AE

=

2

3

，
∴存在E點(diǎn)坐標(biāo)（

13

2

，0）使以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
綜上這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，分別是（5，0），（

13

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)、三角形相似、平行線的性質(zhì)、直線斜率等知識(shí)點(diǎn)，解答本題需要較強(qiáng)的綜合作答能力，特別是作答（2）問(wèn)時(shí)需要進(jìn)行分類(lèi)，這是同學(xué)們?nèi)菀缀雎缘牡胤�，此題難度較大．