Question

如圖所示，⊙O的半徑為R，弦AB，CD相互垂直，連接AD，BC．
（1）求證：AD²+BC²=4R²；
（2）若AD，BC的長是方程x²-6x+5=0的兩個根，求⊙O的半徑及點O到AD的距離．

Answer 1

考點：圓周角定理,解一元二次方程-因式分解法,勾股定理

專題：

分析：（1）如圖，作⊙O的直徑BE，連接AE、CE．利用勾股定理和直角三角形外接圓半徑證得結(jié)論；
（2）通過解方程求得AD、BC的值；然后將其代入（1）中的等式來求圓的半徑；過點O作OF⊥AD于F，由垂徑定理和勾股定理進行解答．

解答：（1）證明：如圖，作⊙O的直徑BE，連接AE、CE．
∵DE是直徑，
∴EC⊥CD．
又∵AB⊥CD，
∴AB∥EC，
∴

AE

=

BC

=CB，
∴AE=CB．
由DE是直徑得到：∠EAD=∠ECD=90°．
∵由勾股定理，得AD²=DE²-AE²，
∴AD²+BC²=DE²-AE²+AE²=4R²；

（2）由x²-6x+5=0，得
（x-1）（x-5）=0，
解得 x₁=1，x₂=5，
∵AD，BC的長是方程x²-6x+5=0的兩個根，
∴AD=5，BC=1．
又由（1）知，AD²+BC²=4R²
∴25+1=4R²
則R=

26

2

．
如圖，過點O作OF⊥AD于F，則FD=

1

2

AD=

5

2

．
在直角△OFD中，OD=

26

2

，F(xiàn)D=

5

2

．則由勾股定理知OF=

DO2-FD2

=

13 2 - 25 4

=

1

2

．
綜上所述，⊙O的半徑是

26

2

，點O到AD的距離是

1

2

．

點評：本題考查了圓周角定理，因式分解法解一元二次方程以及勾股定理．根據(jù)題意作出輔助線是解題的難點．