Question

如圖1，2，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點(diǎn)。等腰直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F。
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時：
①通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是_____ ；
②連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是_____ ；
并請證明你的上述兩猜想。

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點(diǎn)N，使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系。

Answer 1

解：（1）①DE=EF；②NE=BF；
③證明：∵四邊形ABCD是正方形，N，E分別為AD，AB的中點(diǎn)，
∴DN=EB
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴ DE=EF，NE=BF
（2）在DA邊上截取DN=EB（或截取AN=AE），連結(jié)NE，點(diǎn)N就使得NE=BF成立（圖略）
此時，DE=EF