Question

9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB邊的中點(diǎn)，D、E分別在AC、BC上，∠EOD=90°，DF∥BC交AB于點(diǎn)F，連接EF、OC．
（1）如圖1，求證：四邊形DCEF是矩形；
（2）如圖2，若∠COE=22.5°，寫出圖中長度等于EF的線段．（CD除外）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CO=$\frac{1}{2}$AB=AO=BO，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B=45°，OC⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，推出∠AOD=∠COE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=CE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADF=90°，推出DF=AD=CE，得到四邊形DCEF是平行四邊形，于是得到結(jié)論；
（2）由江西的性質(zhì)得到EF⊥BC，推出△BEF是等腰直角三角形，得到EF=BE，根據(jù)等腰三角形的判定即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，O是AB邊的中點(diǎn)，
∴CO=$\frac{1}{2}$AB=AO=BO，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，OC⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，
∴∠A=∠BCO，
∵∠EOD=90°，
∴∠AOD+∠DOC=∠COE+∠DOC，
∴∠AOD=∠COE，
在△ADO與△CEO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠OCE}\\{AO=CO}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△CEO，
∴AD=CE，
∵DF∥BC，
∴∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠A=45°，
∴DF=AD=CE，
∴四邊形DCEF是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形DCEF是矩形；
（2）解：∵四邊形DCEF是矩形；
∴EF⊥BC，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BE，
∵∠COE=22.5°，
∴∠EOB=67.5°，
∴∠OEB=67.5°，
∴∠BOE=∠BEO，
∴BE=BO，
∴EF=BE=BO=AO=CO，
∴圖中長度等于EF的線段是BE，BO，AO，CO．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．