Question

如圖，A點坐標(biāo)為（3，0），第一象限內(nèi)的點P在直線y=2x上，且∠PAO=45°．
（1）經(jīng)過P、O、A三點的拋物線的解析式是

 

；其頂點M坐標(biāo)為

 

；
（2）若將（1）中的拋物線向上平移，使平移后拋物線的頂點Q在直線y=2x上，求△APM與△APQ的面積比；
（3）點N在平移后的拋物線上，且在直線AP上方，當(dāng)△APN的面積最大時，求點N的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)題意設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，2x），又由∠PAO=45°，PH⊥OA，可得PH=AH=2x，又由點A的坐標(biāo)為（3，0），即可求得x的值，則可求得點P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法將點P，O，A的坐標(biāo)代入解析式即可得到方程組，解方程組即可求得解析式，利用公式即可求出頂點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖形求得：△APO、△AQO與四邊形AMPO的面積，即可求得△APM與△APQ的面積，則問題得解；
（3）因為AP的長度不變，N可以看做是直線AP延向上的方向平移和拋物線的唯一一個交點，設(shè)N到AP的最大距離為k，此時△APN的面積最大．

解答：解：（1）過點P作PH⊥OA，垂足為點H．
∵點P在直線y=2x上，
∴設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，2x）．
∵∠PAO=45°，PH⊥OA，
∴∠PAO=∠APH=45°．
∴PH=AH=2x．
∵點A的坐標(biāo)為（3，0），
∴x+2x=3．
∴x=1．
∴點P的坐標(biāo)為（1，2），
設(shè)所求的二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
∵圖象經(jīng)過P（1，2）、O（0，0）、A（3，0）三點，
∴

2=a+b+c  0=c  0=9a+3b+c

，
解得：

a=-1 b=3 c=0

，
∴所求的二次函數(shù)解析式為y=-x²+3x．
∴頂點M的坐標(biāo)為（

3

2

，

9

4

），
故答案為：y=-x²+3x；（

3

2

，

9

4

），
（2）根據(jù)題意，得點Q的坐標(biāo)為（

3

2

，3），
∵S_△AQO=

1

2

×3×3=

9

2

，S_△APO=

1

2

×3×2=3，S_{四邊形AMPO}=

1

2

×1×2+

1

2

×（2+

9

4

）×

1

2

+

1

2

×

3

2

×

9

4

=

15

4

，
∴S_△APM=

15

4

-3=

3

4

，S_△APQ=

9

2

-3=

3

2

，
∴△APM與△APQ的面積之比為

1

2

；
（3）設(shè)AP的解析式為：y=kx+b，N到AP的最大距離為k，
∵A（3，0），P（1，2）
∴

2=k+b 0=3k+b

，
∴

k=-1 b=3

，
∴y=-x+3，
∴點N所在的直線NR的解析式為y=-x+3+k，
根據(jù)點Q（

3

2

，3）的坐標(biāo)可知平移后的二次函數(shù)解析式為y=-（x-

3

2

）²+3，
∴-（x-

3

2

）²+3=-x+3+k，
因為只要唯一一個交點，所以△=0，
∴k=

7

4

，
∴x=2，y=

11

4

，
∴△APN的面積最大時，求點N的坐標(biāo)是（2，

11

4

）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法以及三角形面積的求法等知識點．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．