Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以acm/s(a＞0)的速度沿BA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以1cm/s的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
(2)設(shè)點(diǎn)M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形．①若a＝，求PQ的長(zhǎng)；②是否存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線(xiàn)上？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD= BC=6cm，
∵a=2，
∴BP=2tcm，DQ=tcm，
∴BQ=BD-QD=6-t（cm），
∵△BPQ∽△BDA，
∴BP：BD =BQ： AB ，
即 = ，解得：t=
（2）①過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E，
∵四邊形PQCM為平行四邊形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，
∴PB=CM，
∴PB=PQ，
∴BE=BQ= （6-t）cm，
∵a= ，
∴PB=5 2 tcm，
∵AD⊥BC，
∴PE∥AD，
∴PB：AB=BE：BD，
即t：10 = (6-t) ：6 ，
解得：t= ，
∴PQ=PB= t= （cm）；
②不存在．理由如下：
∵四邊形PQCM為平行四邊形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，∴PB=CM，
∴PB=PQ． 若點(diǎn)P在∠ACB的平分線(xiàn)上，則∠PCQ=∠PCM，
∵PM∥CQ，
∴∠PCQ=∠CPM，
∴∠CPM=∠PCM，
∴PM=CM，
∴四邊形PQCM是菱形，
∴PQ=CQ∴PB=CQ，
∵PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm），
∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），
即at=6+t①， ∵PM∥CQ，
∴PM：BC=AP：AB，
∴= ，
化簡(jiǎn)得：6at+5t=30②，
把①代入②得，t=- ，
∴不存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線(xiàn)上．