Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x²-（m-1）x+m²-6交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B（0，3），頂點C位于第二象限，連接AB，AC，BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D是y軸正半軸上一點，且在B點上方，若∠DCB=∠CAB，請你猜想并證明CD與AC的位置關系；
（3）設與△AOB重合的△EFG從△AOB的位置出發(fā)，沿x軸負方向平移t個單位長度（0＜t≤3）時，△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=-x²-（m-1）x+m²-6與y軸交于點B（0，3），
∴m²-6=3．
∴m=±3．
∵拋物線的頂點在第二象限，
∴m=3．
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
（2）猜想：CD⊥AC，如圖（1）：

證明如下：
∵A（-3，0），B（0，3），C（-1，4），
∴AB=3，AC=2，BC=．
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠ACB=90°，
又∵∠CAB=∠DCB，
∴∠DCB+∠ACB=90°，
∴CD⊥AC．
（3）設直線AC的解析式為y=kx+b，
將A（-3，0），C（-1，4）代入可得：，
解得：，
即直線AC的解析式為y=2x+6．
過B作BK∥x軸，交AC于點K，
則點K的坐標為（-，3），
①當0＜t＜時，如圖（2），EF交AB于點Q，GF交AC于點N，過N做MP∥FE交x軸于P點，交BF的延長線點M，

由△AGN∽△KFN，得，
即，
解得PN=2t，
則S_陰影=S_△FGE-S_△QAE-S_△AGN==-t²+3t．

②當≤t≤3時，如圖（3），EF交AB于點N，交AC于點M，BF交AC于點P，
．
由△AME∽△PMF，
得．
即，
解得ME=2（3-t），
∴S（3-t）×．
綜上所述：S=．
分析：（1）將點B的坐標代入可得出m的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）分別求出點A、B、C的坐標，根據勾股定理的逆定理可判斷出∠ABC=90°，繼而利用等量代換可得出∠DCB+∠ACB=90°，繼而得出結論．
（3）過點B作BF∥x軸，交AC于點K，求出點K的坐標，然后根據K的橫坐標，可分類討論，①當0＜t＜時，②當≤t≤3時，分別表示出陰影部分的面積即可．
點評：本題屬于二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、勾股定理的逆定理及分段函數的知識，綜合考察的知識點較多，對于此類綜合題目，往往前兩問都比較簡單，同學們不要碰到這樣的綜合題就退縮．