Question

如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，G，H分別是BD，AC的中點，AB=CD．
求證：四邊形GFHE是菱形．

Answer 1

分析：首先運用三角形中位線定理可得到EG∥AB，HF∥AB，EH∥CD，GF∥DC，從而在根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行得到GF∥EH，GE∥FH，可得到四邊形GFHE是平行四邊形，再運用三角形中位線定理證明鄰邊相等，從而證明它是菱形．

解答：證明：∵四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點，
∴EG∥AB，HF∥AB，EH∥CD，GF∥DC，
∴GF∥EH，GE∥FH（平行于同一條直線的兩直線平行）；
∴四邊形GFHE是平行四邊形，
∵四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是AD，BC、BD、AC的中點，
∴EG是△ABD的中位線，GF是△BCD的中位線，
∴GE=

1

2

AB，GF=

1

2

CD，
∵AB=CD，
∴GE=GF，
∴四邊形GFHE是菱形．

點評：此題主要考查了三角形中位線定理和菱形的判定方法，題目比較典型，又有綜合性，難度不大．