Question

12．如圖，半圓O中，將一塊含60°的直角三角板的60°角頂點與圓心O重合，角的兩條邊分別與半圓圓弧交于C，D兩點（點C在∠AOD內(nèi)部），AD與BC交于點E，AD與OC交于點F．
（1）求∠CED的度數(shù)；
（2）若C是弧$\widehat{AD}$的中點，求AF：ED的值；
（3）若AF=2，DE=4，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠CED=∠ACE+∠CAE，求出∠ACE、∠CAE即可解決問題．
（2）利用垂徑定理，直角三角形30度角性質(zhì)，推出AF=3EF，DE=2EF，即可解決問題．
（3）連接CD，過點F作AC的垂線，垂足為H．設(shè)CE=x，則AC=$\sqrt{3}$x，AE=2x，EF=2x-2，由△CFE∽△DFC，推出$\frac{FC}{FE}$=$\frac{FD}{FC}$，得FC²=EF•DF=（2x-2）（2x+2）=4x²-4，在Rt△FCH中，根據(jù)CH²+FH²=CE²，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖連接AC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠COD=60°，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COD=30°，
∴∠CED=∠ACE+∠CAD=90°+30°=120°，

（2）∵C是$\widehat{AD}$中點，OC是半徑，
∴OC⊥AD，AF=FD，
∴∠ECF=∠EAC=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$EC，CE=$\frac{1}{2}$AE，
∴AF=DF=3EF，DE=2EF，
∴AF：ED=3：2．

（3）連接CD，過點F作AC的垂線，垂足為H．設(shè)CE=x，則AC=$\sqrt{3}$x，AE=2x，EF=2x-2，
在Rt△AFH中，∠HAF=30°，AF=2，
∴FH=1，AH=$\sqrt{3}$，CH=$\sqrt{3}x-\sqrt{3}$，
∵∠FCE=∠OBC=∠CDF，∠CFE=∠DFC，
∴△CFE∽△DFC，
∴$\frac{FC}{FE}$=$\frac{FD}{FC}$，
∴FC²=EF•DF=（2x-2）（2x+2）=4x²-4，
在Rt△FCH中，∵CH²+FH²=CF²，
∴（$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$）²+1²=4x²-4，
∴x²+6x-8=0，
解得x=$\sqrt{17}$-3或-$\sqrt{17}$-3（舍棄），
∴EF=2x-2=2$\sqrt{17}$-8．

點評 本題考查圓綜合題、垂徑定理、新三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形或相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．