Question

已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C．

（1）如圖①，若AB=2，∠P=30°，求AP的長（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）如圖②，若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線．

　

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，AP是切線，

∴∠BAP=90°．

在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，

∴BP=2AB=2×2=4．

由勾股定理，得．   （5分）

（2）如圖，連接OC、AC．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BCA=90°，又∵∠ACP=180°﹣∠BCA=90°．

在Rt△APC中，D為AP的中點(diǎn)，

∴．

∴∠4=∠3．

又∵OC=OA，

∴∠1=∠2．

∵∠2+∠4=∠PAB=90°，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．

即OC⊥CD．

∴直線CD是⊙O的切線．                                     （8分）