Question

4．已知：如圖，在半徑為8的⊙O中，AB為直徑，以弦AC（非直徑）為對(duì)稱軸將$\widehat{AC}$折疊后與AB相交于點(diǎn)D，如果AD=3DB，那么AC的長(zhǎng)為4$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和圓周角定理可得∠ABC=∠ACD+∠CAD，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得∠BDC=∠ACD+∠CAD，從而得到∠ABC=∠BDC，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BC=CD，過點(diǎn)C作CE⊥BD于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE=DE=$\frac{1}{2}$BD，然后利用△ACE和△CBE相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出CE，在Rt△BCE中，利用勾股定理列式計(jì)算即可．

解答 解：連接CD、CB，作CE⊥AB于E，
∵弧AC沿弦AC折疊交直徑AB于點(diǎn)D，
∴∠ABC=∠ACD+∠CAD，
在△BCD中，∠BDC=∠ACD+∠CAD，
∴∠ABC=∠BDC，
∴BC=CD，又CE⊥AB，
∴BE=DE=$\frac{1}{2}$BD，
∵AD=3DB，AD+BD=16，
∴BD=4，AD=12，
∴AE=AD+DE=12+2=14，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠CAD=∠ACB=90°，
∵∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
又∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{CE}{BE}$，
∴CE=2$\sqrt{7}$，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=4$\sqrt{14}$，
故答案為：4$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．