Question

3．如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{4}{3}$x+8與x、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后立即以原來的速度沿AO返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動．當(dāng)以PQ為直徑的圓M恰好經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，P、Q停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）①經(jīng)過多少秒P、Q停止運(yùn)動？
②當(dāng)t為何值時(shí)，圓M與△ABO的一條邊相切？
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動過程中，
①點(diǎn)M運(yùn)動路徑長為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
②是否存在一個(gè)圓心在y軸上的圓N同時(shí)經(jīng)過B、P、Q三個(gè)點(diǎn)？如果存在，求出圓心N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，以PQ為直徑的圓M恰好經(jīng)過點(diǎn)O，求出AB的長即可解決問題．②分三種情形討論Ⅰ、如圖2中，當(dāng)⊙M與AB相切時(shí)．
Ⅱ、如圖3中，當(dāng)⊙M與OA相切時(shí)．Ⅲ、如圖4中，當(dāng)⊙M與OB相切時(shí)．分別利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．
（2）①首先證明點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是線段EH，求出線段EH的長即可解決問題．②存在一個(gè)圓心在y軸上的圓N同時(shí)經(jīng)過B、P、Q三個(gè)點(diǎn)．
如圖6中，作NM⊥BQ于M，由BN=NQ=NP，NM⊥BQ，推出BM=MQ=$\frac{10-t}{2}$，則BN=NQ=NP=$\frac{5}{8}$（10-t），在Rt△OPN中，根據(jù)PN²=ON²+OP²，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，以PQ為直徑的圓M恰好經(jīng)過點(diǎn)O．

∵直線y=-$\frac{4}{3}$x+8與x、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（6，0），B（0，8），
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴t=10s時(shí)，P、Q停止運(yùn)動．

②Ⅰ、如圖2中，當(dāng)⊙M與AB相切時(shí)．

由△APQ∽△ABO得到，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{OA}$，
∴$\frac{6-t}{10}$=$\frac{t}{6}$，
∴t=$\frac{9}{4}$．
Ⅱ、如圖3中，當(dāng)⊙M與OA相切時(shí)．

由$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AO}$，得$\frac{t}{10}$=$\frac{6-t}{6}$，解得t=$\frac{15}{4}$．
Ⅲ、如圖4中，當(dāng)⊙M與OB相切時(shí)．

∵P（t，0），Q（6-$\frac{3}{5}$t，$\frac{4}{5}$t），
∴M（3+$\frac{1}{5}$t，$\frac{2}{5}$t），
∴2（3+$\frac{1}{5}$t）=$\sqrt{（6-\frac{8}{5}t）^{2}+（\frac{4}{5}t）^{2}}$，
解得t=$\frac{150}{19}$或0（舍棄），
綜上所述，t為$\frac{9}{4}$s或$\frac{15}{4}$s或$\frac{150}{19}$s時(shí)，圓M與△ABO的一條邊相切．

（2）點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動過程中，
①如圖5中，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)H（3，0）處，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)E（$\frac{21}{5}$，$\frac{12}{5}$）處．

∵直線EH的解析式為y=2x-6，
∵P（t，0），Q（6-$\frac{3}{5}$t，$\frac{4}{5}$t），
∴M（3+$\frac{1}{5}$t，$\frac{2}{5}$t），
∵x=3+$\frac{1}{5}$t時(shí)，y=2（3+$\frac{1}{5}$t）-6=$\frac{2}{5}$t，
∴點(diǎn)M在直線EH上，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是線段EH，EH=$\sqrt{（\frac{21}{5}-3）^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．
∴點(diǎn)M運(yùn)動路徑長為$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
故答案為$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．

②存在一個(gè)圓心在y軸上的圓N同時(shí)經(jīng)過B、P、Q三個(gè)點(diǎn)．
如圖6中，作NM⊥BQ于M，

∵BN=NQ=NP，NM⊥BQ，
∴BM=MQ=$\frac{10-t}{2}$，則BN=NQ=NP=$\frac{5}{8}$（10-t），
在Rt△OPN中，∵PN²=ON²+OP²，
∴[$\frac{5}{8}$（10-t）]²=[8-$\frac{5}{8}（10-t）$]²+t²，
解得t=-5+$\sqrt{61}$或-5-$\sqrt{61}$（舍棄），
∴ON=$\frac{5\sqrt{61}-11}{8}$，
∴N（0，$\frac{5\sqrt{61}-11}{8}$）．

點(diǎn)評 本題考查圓綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、運(yùn)動軌跡等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，第二個(gè)問題中①的關(guān)鍵的證明點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是線段EH，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)解決實(shí)際問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程，屬于中考壓軸題．