Question

如圖，△ABC為等邊三角形，D為BC邊上一點，以AD為邊作∠ADE=60°，DE與△ABC的外角平分線CE交于點E．
（1）求證：∠BAD=∠FDE；
（2）設(shè)DE與AC相交于點G，連接AE，若AB=6，AE=5時，求線段AG的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠B=60°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B，代入數(shù)據(jù)整理即可得證；
（2）過點D作DH∥AC交AB于H，求出∠AHD=∠DCE=120°，再求出AH=CD，然后利用“角邊角”證明△AHD和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=DE，判斷出△ADE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠DAE=∠DEA=60°，然后判斷出△ABD和△AEG相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解．

解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B，
∵∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠FDE；
（2）解：如圖，過點D作DH∥AC交AB于H，
∵△ABC為等邊三角形，
∴△BDH是等邊三角形，
∴∠BHD=60°，BD=BH，
∴∠AHD=180°-60°=120°，
∵CE是△ABC的外角平分線，
∴∠ACE=

1

2

（180°-60°）=60°，
∴∠DCE=60°+60°=120°，
∴∠AHD=∠DCE=120°，
又∵AH=AB-BH，CD=BC-BD，
∴AH=CD，
在△AHD和△DCE中，

∠BAD=∠FDE AH=CD ∠AHD=∠DCE

，
∴△AHD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠DAE=∠DEA=60°，AE=AD=5，
∵∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-∠CAD，
∠EAG=∠DAE-∠CAD=60°-∠CAD，
∴∠BAD=∠EAG，
∴△ABD∽△AEG，
∴

AG

AD

=

AE

AB

，
即

AG

5

=

5

6

，
解得AG=

25

6

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各圖形的判定方法與性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵．