Question

如圖，已知A（-1，0），E（0，-），以點A為圓心，以AO長為半徑的圓交x軸于另一點B，過點B作BF∥AE交⊙A于點F，直線FE交x軸于點C。
（1）求證：直線FC是⊙A的切線；
（2）求點C的坐標(biāo)及直線FC的解析式；
（3）有一個半徑與⊙A的半徑相等，且圓心在x軸上運動的⊙P，若⊙P與直線FC相交于M，N兩點，是否存在這樣的點P，使△PMN是直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）連接AF， ∵AE∥BF， ∴∠1=∠3，∠4=∠2， 又∵AB=AF， ∴∠3=∠4， ∴∠1=∠2， 又∵AO=AF，AE=AE， ∴△AOE≌△AFE， ∴∠AFE=∠AOE=90°， ∴FC是⊙O的切線； （2）由（1）知EF=OE=， ∵AE∥BF， ∴， ∴， ∴①； 又∵OE2+OC2=CE2， ∴②； 由①②解得OC=0（舍去）或OC=2， ∴C（2，0）， ∵直線FC經(jīng)過E（0，-），C（2，0）兩點， 設(shè)FC的解析式：y=kx+b， ∴，解得， ∴直線FC的解析式為y=； （3）存在：當(dāng)點P在點C左側(cè)時，若∠MPN=90°，過點P作PE⊥MN于點E， ∵∠MPN=90°，PM=PN， ∴PH=PM×cos45°=， ∵AF⊥FC， ∴PE∥AF， ∴△CPE∽△CAF， ∴， ∴， ∴CP=， ∴PO=-2， ∴P（2-，0）， 當(dāng)點P在點C右側(cè)P′時，設(shè)∠M′P′N′=90°，過點P′作P′Q⊥M′N′于點Q，則P′Q=， ∴P′Q=PE，可知P′與P關(guān)于點C中心對稱，根據(jù)對稱性得： ∴OP′=OC+CP′=2+， ∴P′（2+，0）， ∴存在這樣的點P，使得△PMN為直角三角形，P點坐標(biāo)（2-，0）或（2+，0）。