Question

【題目】如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F．

（1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE；

（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點G，連接CG交AD于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AFAC．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據全等三角形的判定定理即可得到結論；

（2）①過G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根據已知條件設DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根據平行線分線段成比例定理得到，求得GM=2MC；

②過C作CN⊥AD交AD的延長線于N，則CN∥AG，根據相似三角形的性質得到，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根據相似三角形的性質得到，等量代換得到，于是得到結論．

試題解析：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵BA=BD，BE=BE，∴△ABE≌△DBE；

（2）①過G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，設DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴，∴GM=2MC；

②過C作CN⊥AC交AD的延長線于N，則CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴，∵AB=AG，∴，∴2CNAG=AFAC，∴AG2=AFAC．