Question

如圖，⊙O是△ABC的內切圓，D、E、F是切點，F(xiàn)P⊥DE于P，求證：∠DBP=∠ECP．

Answer 1

證明：連接OF，OB，OC，OC交弧EF于G，連接DF，EF，
∵⊙O為△ABC的內切圓，
∴CE=CF，BD=BF，弧FG=弧FE，
∴∠FDE=∠COF，而∠DPF=∠OFC，
∴△DPF∽△OFC，同理△EPF∽△OFB，
∴=，=，
∴OF•PF=PD•CF=PD•CE，
OF•PF=PE•BF=PE•BD，
∴PD•CE=PE•BD，
∴=，
而∠BDP=∠CEP，
∴△BDP∽△CEP，
∴∠DBP=∠ECP．
分析：連接OF，OB，OC，OC交弧EF于G，連DF，EF，證明△DPF∽△OFC，△EPF∽△OFB，再證明△BDP∽△CEP即可證明∠DBP=∠ECP．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質及三角形內切圓與內心，難度適中，關鍵是巧妙作出輔助線．