Question

如圖，已知拋物線y=-

1

6

x²+

1

3

x+8與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點．

（1）求A，B，C三點坐標及該拋物線的對稱軸；
（2）若點E在x軸上，點P（x，y）是拋物線在第一象限上的點，△APC≌△APE，求E，P兩點坐標；
（3）在拋物線對稱軸上是否存在點M，使得∠AMC是鈍角？若存在，求出點M的縱坐標n的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令x=0，求出點C的坐標，令y=0求出點A和點B的坐標．
（2）連接AP交OC于F點，設F（0，t），連接EF，由△APC≌△APE，得出AE=AC，得出OE的長即可得出點E坐標，由對稱性得EF=CF，利用勾股定理求出t，確定點F的坐標，可求得直線AF的表達式，與拋物線聯(lián)立得出點P的坐標．
（3）作輔助線以AC為直徑畫⊙N，交對稱軸l于S，T，作NQ⊥l于Q，NQ交y軸于J，連接NS，易得點N的坐標，可求出NQ，NS的長，由勾股定理得SQ，即可得到S，T的坐標，
由圓的知識可得出點M在S，T之間時得∠AMC是鈍角．所以得出點M的縱坐標n的取值范圍．

解答：解：（1）把x=0代入y=-

1

6

x2+

1

3

x+8，得y=8，所以C（0，8）．       
由-

1

6

x2+

1

3

x+8=0，解得x=-6，或x=8．
所以點A坐標為（-6，0），點B坐標為（8，0）．   
所以拋物線的對稱軸方程是直線x=1．             
（2）如圖1，連接AP交OC于F點，設F（0，t），連接EF，

由題意可得AC=10，
∵△APC≌△APE，
∴AE=AC=10，AP平分∠CAE．
∴OE=10-6=4，點E坐標為（4，0）．
∵AP平分∠CAE，
∴由對稱性得EF=CF=8-t．
在Rt△EOF中，OE²+OF²=EF²，
∴4²+t²=（8-t）²，解得t=3．
∴點F坐標為（0，3）．            
設直線AF的表達式y(tǒng)=kx+b（k≠0），
將點A（-6，0），F(xiàn)（0，3）代入，解得

k= 1 2 b=3

，
∴直線AF的表達式y=

1

2

x+3．
由

y= 1 2 x+3 y=- 1 6 x2+ 1 3 x+8

，
解得

x=5 y= 11 2

或

x=-6 y=0

（不符合題意，舍去）．
∴P（5，

11

2

），E（4，0）．      
（3）如圖2，以AC為直徑畫⊙N，交對稱軸l于S，T，作NQ⊥l于Q，NQ交y軸于J，連接NS，

∵C（0，8），點A坐標為（-6，0），N為AC的中點，
∴N為（-3，4），
∵拋物線的對稱軸方程是直線x=1．
∴NQ=4，NS=5；                  
在Rt△SNQ中由勾股定理得SQ=3，
∴S，T的坐標分別為（1，7）和（1，1），
當M介于S和t之間時，延長AM交⊙N于L，∠ALC=90°，
∠AMC＞∠ALC，
∴∠AMC是鈍角，
∴1＜n＜7，
∴點M的縱坐標n的取值范圍1＜n＜7．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用，涉及全等三角形的性質，一次函數(shù)解析式及圓的有關知識．解題的關鍵是正確作出輔助線，靈活運用二次函數(shù)與方程、幾何知識的結合．