Question

8．如圖1，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BC且AC=BC，以BC、AC所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系B（-6，0），直線y=3x+b過(guò)點(diǎn)D且與x軸交于點(diǎn)M．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D，b的值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點(diǎn)E是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AC上的一點(diǎn)，且∠CEF=45°，若△CEF為等腰三角形，求線段AE的長(zhǎng)；
（3）如圖3，點(diǎn)G為y軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)∠BGM=45°時(shí)，求線段AG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出AC、AD和BC的長(zhǎng)，寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y=3x+b中求出b的值，并令y=0時(shí)，求出M的坐標(biāo)；
（2）分三種情況：①當(dāng)CE=CF時(shí)，如圖2，E與B重合，F(xiàn)與A重合，AE=AB=6$\sqrt{2}$；②當(dāng)CE=EF時(shí)，如圖3，過(guò)E作EH⊥AC于H，得∠AEC=∠ECH=67.5，AE=AC=6；③當(dāng)EF=CF時(shí)，如圖4，設(shè)EF=x，利用EF∥BC得比例式$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$求出，EF=AF=3，則AE=3$\sqrt{2}$；
（3）如圖5，作△BGM的外接圓，圓心為E，求出EB的長(zhǎng)，即是GE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出GF的長(zhǎng)，所以AG=6．

解答 解：（1）如圖1，∵B（-6，0），
∴BC=6，
∵AC=BC，
∴AC=6，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥BC，
∴AD=BC=6，AD⊥AC，
∴D（6，6），
把D（6，6）代入y=3x+b中得：6=3×6+b，
b=-12，
∴y=3x-12，
當(dāng)y=0時(shí)，3x-12=0，
x=4，
∴M（4，0）；
（2）若△CEF為等腰三角形，分三種情況討論：
①當(dāng)CE=CF時(shí)，如圖2，則∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF=45°，
∴E與B重合，F(xiàn)與A重合，
∴AE=AB=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$；
②當(dāng)CE=EF時(shí)，如圖3，過(guò)E作EH⊥AC于H，則∠CEH=∠FEH，
∵∠CEF=45°，
∴∠CEH=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠ECH=90°-22.5°=67.5°，
在△AEC中，∵∠BAC=45°，
∴∠AEC=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AEC=∠ECH，
∴AE=AC=6；
③當(dāng)EF=CF時(shí)，如圖4，設(shè)EF=x，
∵EF=FC=x，∠CEF=45°，
∴∠EFC=∠CEF=45°，
∴∠EFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AFE=∠ACB，
∴EF∥BC，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$，
∵AC=BC，
∴EF=AF，
∴x=6-x，
x=3，
∴EF=AF=3，
∴AE=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
綜上所述：AE的長(zhǎng)為6$\sqrt{2}$或6或3$\sqrt{2}$；
（3）如圖5，作BM的中垂線交AB于E，交BM于P，過(guò)E作EF⊥y軸于F，連接EM、GE，
∴EB=EM，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠EMB=45°，
∴∠BEM=90°，
∵∠BGM=45°，
∴點(diǎn)E是△BGM的外接圓的圓心，
∴EG=EB=EM，
∵BC=6，CM=4，
∴BM=10，
∴BP=PE=5，
∴BE=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴EG=5$\sqrt{2}$，
∵EF=6-5=1，
∴GF=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=7，
∴AG=GF+FC-AC=7+5-6=6．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)與四邊形的綜合題，考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和平行四邊形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行，當(dāng)一個(gè)三角形為等腰三角形時(shí)，要運(yùn)用分類討論的思想，分三種情況進(jìn)行討論，與勾股定理和相似比例式相結(jié)合列方程求出邊的長(zhǎng)；當(dāng)一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)組成的角是45°時(shí)，可以考慮作輔助圓，得同弧所對(duì)的圓心角為90°，從而使問(wèn)題得以解決．