Question

已知：拋物線y=ax²+bx與x鈾的一個交點為B，頂點A在直線y=x上，O為坐標原點．
（1）證明：△OAB為等邊三角形；
（2）若△OAB的內切圓半徑為1，求出拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使△POB是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：作AC⊥OB于點C；
∵點A在直線y=x上，設A（x，x）．
在直角三角形OAC中，tan∠AOC===，
∴∠AOC=60°
由拋物線的對稱性可知：OA=AB，
∴△AOB為等邊三角形．

（2）解：當a＜0時，設△AOB的內心為I，則∠IOC=30°，在直角三角形IOC中，
∵IC=1，OC=．
∴拋物線的對稱軸x=-=，
∴a=-1，b=2．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x．
當a＞0時，同法可求，另一條拋物線的解析式為y=x²+2x．

（3）解：易知：拋物線與x軸的兩交點為O（0，0），B（-，0）．
且頂點A（-，-）在直線y=x上，
∴-=（-），
解得b=2，b=0（舍去）．
∴B（-，0）
拋物線的解析式為y=ax²+2x．
假設存在符合條件的點P（m，n）．
過點P做PD⊥OB于D，則根據(jù)射影定理有：
PD²=OD•BD；
由題意知：y=ax²+2x，
∴，
解得：，
，
∴存在符合條件的P點，且坐標為：P（，-）或（，-）．
分析：（1）根據(jù)直線OA的斜率不難得到∠AOB=60°，根據(jù)拋物線的對稱性可知AB=OA，由此得證．
（2）由于拋物線的開口方向不確定，因此分a＞0和a＜0兩種情況求解．以a＜0為例說明：
可設三角形AOB的內心為I，過A作AC⊥OB，則I必在AC上，連接IO，在構建的直角三角形IOC中，∠IOC=30°，已知了IC=1，即可求出OC和IO的長，也就能求出B點和A點的坐標，然后將這兩點坐標代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．（a＞0時，解法完全相同）．
（3）如果△POB是直角三角形，那么如果過P作x軸的垂線，根據(jù)射影定理即可得出P點縱坐標絕對值的平方等于P點橫坐標絕對值和P、B兩點橫坐標差的絕對值的乘積．然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點坐標．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了等邊三角形的判定、二次函數(shù)解析式的確定、三角形內心等知識點．綜合性強，難度較大．