Question

3．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點P，直線BF與AD的延長線交于點F，且∠AFB=∠ABC．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線．
（2）若CD=2$\sqrt{3}$，OP=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理得到∠ADC=∠ABC．則∠AFB=∠ADC，根據(jù)平行線的判定得CD∥BF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得BF⊥AB，最后根據(jù)切線的判定定理可得到結(jié)論；
（2）連接OC，如圖，根據(jù)垂徑定理得到CP=DP=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，然后利用勾股定理覺得OC即可．

解答 （1）證明：∵∠AFB=∠ABC，
而∠ADC=∠ABC．
∴∠AFB=∠ADC，
∴CD∥BF，
∵CD⊥AB，
∴BF⊥AB，
∴直線BF是⊙O的切線；
（2）解：連接OC，如圖，
∵AB⊥CD，
∴CP=DP=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
在Rt△OCP中，OC=$\sqrt{O{P}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
即⊙O的半徑為2．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和垂徑定理．