Question

如圖，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G．
（1）求證：△BCE≌△DCF；
（2）求證：BF=BD；
（3）已知AB=2，O是BD的中點，連結OG交CD于點M，求ME的長．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
在△BCE和△DCF中
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBF+∠CEB=90°，
而∠CEB=∠DEG，
∴∠CDF+∠DEG=90°，
∴∠DGE=90°，即BG⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴△BDF為等腰三角形，
∴BD=BF；

（3）∵AB=2，
∴BD=2，
∴BF=2，
∵O是BD的中點，BG垂直平分DF，
∴OG為△DBF的中位線，OM為△DCF的中位線，
∴OG=BF=，OM=BC=1，
∴MG=OG-OM=-1，
∵MG∥BC，
∴△MGE∽△CBE，
∴MG：BC=ME：EC，即（-1）：2=ME：EC，
∴EC=ME=2（+1）ME，
∵MC=ME+EC=1，
∴ME+2（+1）ME=1，
∴ME=3-2．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質得BC=DC，∠BCD=90°，然后根據(jù)“SAS”可判斷△BCE≌△DCF；
（2）根據(jù)△BCE≌△DCF得到∠CBE=∠CDF，而∠CBF+∠CEB=90°，∠CEB=∠DEG，則∠CDF+∠DEG=90°，所以∠DGE=90°，即BG⊥DF，由于BE平分∠DBC，根據(jù)等腰三角形的判定方法得到△BDF為等腰三角形，則BD=BF；
（3）根據(jù)正方形的性質由AB=2得BD=BF=2，由O是BD的中點，BG垂直平分DF得到OG為△DBF的中位線，OM為△DCF的中位線，則OG=，OM=1，所以MG=-1，再利用MG∥BC判斷△MGE∽△CBE，得到MG：BC=ME：EC，則EC=2（+1）ME，然后利用ME+EC=1進行計算．
點評：本題考查了三角形相似的判定與性質：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截得的三角形與原三角形相似；三角形相似的對應角相等，對應邊的比相等．也考查了三角形全等的判定與性質、正方形的性質以及三角形中位線的性質．