Question

如圖，拋物線y=

1

2

x2+bx-2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y交于C點(diǎn)，且A（-1，0），點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC+MD的值最小時(shí)，m的值是（　�。�

• A、

  5

  8

• B、

  24

  41

• C、

  23

  40

• D、

  25

  41

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b的值，然后求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式直線C′D的解析式，然后令y=0求解即可．

解答：解：∵拋物線y=

1

2

x²+bx-2經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），
∴

1

2

×（-1）²+b×（-1）-2=0，
解得b=-

3

2

，
∴函數(shù)解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x-

3

2

）²-2-

9

8

，
=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

，-

25

8

），
令x=0，則y=-2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），
∴點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（0，2），
連接C′D與x軸的交點(diǎn)即為所求的MC+MD的值最小時(shí)的點(diǎn)M，
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b，
則

b=2 3 2 k+b=- 25 8

，
解得

k=- 41 12 b=2

，
∴直線C′D的解析式為y=-

41

12

x+2，
令y=0，則-

41

12

x+2=0，
解得x=

24

41

，
∴m=

24

41

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，確定出點(diǎn)M的位置并求出點(diǎn)C′、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．