Question

如圖，∠AOB=30°，過OA上到點O的距離為1，3，5，7，…的點作OA的垂線，分別與OB相交，得到如圖所示的陰影梯形，它們的面積依次記為S₁，S₂，S₃，…．則：
（1）S₁=______；
（2）通過計算可得S₂₀₀₉=______．

Answer 1

解：（1）設(shè)陰影梯形的上底和下底距點O的長分別為a和b，
則S_n=b×btan∠AOB-a×atan∠AOB=（b²-a²），
又∵梯形1距離點O的距離a=1，b=3，
∴S₁=（3²-1²）=；

（2）第2009個梯形前面已有2008×2個奇數(shù)，
2009個梯形上底距點O的距離為第2008×2+1個奇數(shù)，
下底為第2008×2+2個奇數(shù)，
∴第2009個梯形的兩邊長分別為：
a=2×（2008×2+1）-1=8033，
b=2×（2008×2+1）+1=8035，
故S₂₀₀₉=（8035²-8033²）=5356．
分析：（1）分析知奇數(shù)的通式為：2n-1（n為正整數(shù)），設(shè)陰影梯形的上底和下底距點O的長分別為a和b，則可以表達出S_n的表達式，將每個梯形的上底和下底距點O的長代入，求解即可；
（2）第2009個梯形前面已有2008×2個奇數(shù)，2009個梯形上底距點O的距離為第2008×2+1個奇數(shù)，下底為第2008×2+2個奇數(shù)．
點評：本題考查學生分析、探究問題及運用規(guī)律解決問題的能力．有一定難度．