Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，△BEF為等腰直角三角形（∠BFE=90°，點(diǎn)B、E、F按逆時針排列），點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)，連PC，PF
（1）如圖①，點(diǎn)E在BC上，則線段PC、PF的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______（不證明）．
（2）如圖②，將△BEF繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)a（O＜a＜45°），則線段PC，PF有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并證明．
（3）如圖③，△AEF為等腰直角三角形，且∠AEF=90°，△AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，能使點(diǎn)F落在BC上，且AB平分EF，直接寫出AE的值是______．

Answer 1

解：（1）∵∠BFE=90°，點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)
∴PF=PD=PE，
同理可得PC=PD=PE，
∴PC=PF，
又∵∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，
∴∠FPC=2∠FDC=90°，
所以PC=PF，PC⊥PF．

（2）PC⊥PF，PF=PC．理由如下：
延長FP至G使PG=PF，連DG，GC，F(xiàn)C，延長EF交BD于N，如圖，
∵點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)，
∴△PDG≌△PEF，
∴DG=EF=BF．
∴∠PEF=∠PDG，
∴EN∥DG，
∴∠BNE=∠BDG=45°+∠CDG=90°-∠NBF=90°-（45°-∠FBC）
∴∠FBC=∠GDC，
∴△BFC≌△DGC，
∴FC=CG，∠BCF=∠DCG．
∴∠FCG=∠BCD=90°．
∴△FCG為等腰直角三角形，
∵PF=PG，
∴PC⊥PF，PF=PC．

（3）設(shè)AE=2x，則PE=PF=x，AP=x，PB=AB-x，
∵Rt△AEP∽Rt△FBP，
∴=，
∴x=AB．
∴AE=2x=AB．
故答案為PC=PF，PC⊥PF；AB．
分析：（1）由∠BFE=90°，點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PF=PD=PE，PC=PD=PE，則PC=PF，又∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，得到∠FPC=2∠FDC=90°，所以PC=PF，PC⊥PF．
（2）延長FP至G使PG=PF，連DG，GC，F(xiàn)C，延長EF交BD于N，易得△PDG≌△PEF，得DG=EF=BF，得∠PEF=∠PDG，EN∥DG，可得
∠FBC=∠GDC，證得△BFC≌△DGC，則FC=CG，∠BCF=∠DCG．得∠FCG=∠BCD=90°．即有PC⊥PF，PF=PC．
（3）設(shè)AE=2x，則PE=PF=x，AP=x，PB=AB-x，由Rt△AEP∽Rt△FBP，得到=，解得x=．得到AE=2x=AB．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及三角形相似的性質(zhì)．