Question

4．已知x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+2）x+m²=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求方程的根；
（2）若（x₁-2）（x₂-2）=41，求m的值；
（3）已知等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)為9，若x₁，x₂恰好是△ABC另外兩邊的邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）將m=0代入方程x²-2（m+2）x+m²=0，得到x²-4x=0，利用因式分解法求解即可；
（2）利用（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=m²-4（m+2）+4=m²-4m-4=41，求得m的值，再利用根的判別式檢驗(yàn)即可；
（3）分9為底邊和9為腰兩種情況分類討論即可確定等腰三角形的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，方程即為x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4；

（2）∵x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+2）x+m²=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=2（m+2），x₁x₂=m²，
∴（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=m²-4（m+2）+4=m²-4m-4=41，
∴m²-4m-45=0，
解得m₁=9，m₂=-5．
當(dāng)m₁=9時(shí)，方程為x²-22x+81=0，△=（-22）²-4×81=160＞0，符合題意；
當(dāng)m₁=-5時(shí)，方程為x²+6x+25=0，△=6²-4×25=-64＜0，不符合題意；
故m的值為9；

（3）①當(dāng)9為底邊時(shí)，此時(shí)方程x²-2（m+2）x+m²=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4（m+2）²-4m²=0，
解得：m=-1，
∴方程變?yōu)閤²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
∵1+1＜9，
∴不能構(gòu)成三角形；
②當(dāng)9為腰時(shí)，設(shè)x₁=9，
代入方程得：81-18（m+2）+m²=0，
解得：m=15或3，
當(dāng)m=15時(shí)方程變?yōu)閤²-34x+225=0，
解得：x=9或25，
∵9+9＜25，不能組成三角形；
當(dāng)m=3時(shí)方程變?yōu)閤²-10x+9=0，
解得：x=1或9，
此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為9+9+1=19．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知兩根之和和兩根之積分別與系數(shù)的關(guān)系．