Question

已知a²+3a+1=0，求
a+

1

a

，a2+

1

a2

，a3+

1

a3

，a4+

1

a4

．

Answer 1

分析：解決這類求值題時(shí)，應(yīng)先觀察題目的特點(diǎn)，就本題而言，如果想通過(guò)已知條件求出字母a的值再代入，可能比較困難，所以應(yīng)考慮利用轉(zhuǎn)化及整體思想解題．結(jié)合所給已知條件，不難將其轉(zhuǎn)化為a+

1

a

=-3，這樣就可以依次求得a²+

1

a2

、a³+

1

a3

、a⁴+

1

a4

的值了．

解答：解：∵a²+3a+1=0，
∴將等式a²+3a+1=0兩邊同時(shí)除以a（a≠0）得：a+

1

a

=-3；

∵a+

1

a

=-3，
∴兩邊同時(shí)平方得：（a+

1

a

）²=（-3）²=9，
∴（a+

1

a

）²=a²+

1

a2

+2=9，
∴a²+

1

a2

=7；

a³+

1

a3

=（a+

1

a

）（a²+

1

a2

-1）=-3×（7-1）=-18；

由a²+

1

a2

=7，兩邊再次平方，得（a+

1

a2

）²=7²
∴a⁴+

1

a4

=（a²+

1

a2

）²-2=49-2=47．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了立方差公式的應(yīng)用以及分式的計(jì)算，分式中的一些特殊求值題并非是一味的化簡(jiǎn)，代入，求值．許多問(wèn)題還需運(yùn)用到常見的數(shù)學(xué)思想，如化歸思想（即轉(zhuǎn)化）、整體思想等，了解這些數(shù)學(xué)解題思想對(duì)于解題技巧的豐富與提高有一定幫助．就本節(jié)內(nèi)容而言，分式求值題中比較多的題型主要有三種：轉(zhuǎn)化已知條件后整體代入求值；轉(zhuǎn)化所求問(wèn)題后將條件整體代入求值；既要轉(zhuǎn)化條件，也要轉(zhuǎn)化問(wèn)題，然后再代入求值．