Question

4．如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，8），并且經(jīng)過(guò)A（8，0），點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作直線y=8的垂線，垂足為點(diǎn)F，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為（0，6），（4，0），連接PD，PE，DE．
（1）求拋物線的解析式；
（2）猜想并探究：對(duì)于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差是否為固定值？如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求：①當(dāng)△PDE的周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo)；②使△PDE的面積為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+8．將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）設(shè)P（a，-$\frac{1}{8}$a²+8），則F（a，8），依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得PD的長(zhǎng)（用含a的式子表示），然后由點(diǎn)P和點(diǎn)F的坐標(biāo)可求得PF的長(zhǎng)（用含a的式子表示，于是可求得PD與PF的差；
（3）由（2）可知PD=PF+2，故此三角形的周長(zhǎng)=DE+PE+PF+2，由兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最小，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；②如圖1所示：過(guò)點(diǎn)P做PH⊥x軸，垂足為H．設(shè)P（a，-$\frac{1}{8}$a²+8），依據(jù)S_△DPE=S_梯形PHOD-S_△PHE-S_△DOE列出陰影部分面積與a的函數(shù)關(guān)系，然后依據(jù)a的取值范圍可求得△DPE面積的取值范圍，從而可確定出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+8．
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，0），
∴64a+8=0，解得a=-$\frac{1}{8}$．
拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{8}$x²+8．
（2）PD與PF的差是定值．
理由如下：設(shè)P（a，-$\frac{1}{8}$a²+8），則F（a，8），
∵D（0，6），
∴PD=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{8}{a}^{2}-2）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{8}{a}^{2}+2）^{2}}$=$\frac{1}{8}$a²+2，PF=8-（$-\frac{1}{8}{a}^{2}+8$）=$\frac{1}{8}{a}^{2}$．
∴PD-PF=2．
（3）①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE大小不變，則PE與PD的和最小時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最小，
∵PD-PF=2，
∴PD=PF+2，
∴PE+PD=PE+PF+2，
∴當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF最小，此時(shí)點(diǎn)P，E的橫坐標(biāo)都為4，
∵將x=4代入y=-$\frac{1}{8}$x²+8，得y=6，
∴P（4，6），此時(shí)△PDE的周長(zhǎng)最�。�
②如圖1所示：過(guò)點(diǎn)P做PH⊥x軸，垂足為H．

設(shè)P（a，-$\frac{1}{8}$a²+8）
∴PH=-$\frac{1}{8}$a²+8，EH=a-4，OH=a
S_△DPE=S_梯形PHOD-S_△PHE-S_△DOE=$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{8}$a²+8+6）-$\frac{1}{2}$（$-\frac{1}{8}{a}^{2}$+8）（a-4）-$\frac{1}{2}$×4×6=-$\frac{1}{4}$a²+3a+4=-$\frac{1}{4}$（a-6）²+13．
∵點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），
∴0≤a≤8，
∴當(dāng)a=6時(shí)，S_△DPE取最大值為13．當(dāng)a=0時(shí)，S_△DPE取最小值為4．即4≤S_△DPE≤13，其中，當(dāng)S_△DPE=12時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)P．
∴共有11個(gè)令S_△DPE為整數(shù)的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的函數(shù)值的范圍、不規(guī)則圖形的面積計(jì)算，列出△DPE的面積與a的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．