Question

18．已知拋物線y=ax²-4ax+3和直線y=bx-4b+3相交于一定點(diǎn)A．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線y=ax²-4ax+3與y軸的交點(diǎn)為B，直線y=bx-4b+3和直線OA分別與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)C，D．問(wèn)否存在一點(diǎn)C，使A，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出b的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）設(shè)拋物線y=ax²-4ax+3過(guò)點(diǎn)（2，-1），直線y=bx-4b+3與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為P，若△POA的面積等于$\frac{35}{2}$，求a和b的值．

Answer 1

分析 （1）直接用拋物線解析式和直線解析式聯(lián)立方程組，求解即可；
（2）先求出C（2，-2b+3），D（2，$\frac{3}{2}$），A（4，3），B（0，3），然后根據(jù)以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，建立方程，求解即可；
（3）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-1），求出a先求出P（b，b²-4b+3），分兩種情況根據(jù)△AOP的面積求出b．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-4ax+3和直線相交于一定點(diǎn)A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=ax2-4ax+3}\\{y=bx-4b+3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{a}}\\{y=\frac{^{2}}{a}-4b+3}\end{array}\right.$．
∴A（4，3）；
（2）存在，b₁=0，b₂=$\frac{4}{3}$；如圖1，

∵拋物線y=ax²-4ax+3與y軸的交點(diǎn)為B，
∴B（0，3），對(duì)稱軸x=2，
∵點(diǎn)A（4，3），
∴直線OA解析式為y=$\frac{3}{4}$x，
∵直線y=bx-4b+3和直線OA分別與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)C，D，
∴C（2，-2b+3），D（2，$\frac{3}{2}$），
∵A（4，3），B（0，3），
∴△OBA為直角三角形，AB=4，OB=3，
∵使A，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB，
①當(dāng)∠ACD=90°時(shí)，點(diǎn)在直線AB上，
∴點(diǎn)C₁（2，3），
∴-2b+3=3，
∴b=0
②當(dāng)∠DAC=90°時(shí)，AC⊥OA，
∴直線AC解析式為 y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{3}$，
∵點(diǎn)C（2，-2b+3），
∴-2b+3=-$\frac{4}{3}$×2+$\frac{25}{3}$，
∴b=$\frac{4}{3}$，
即：b₁=0，b₂=$\frac{4}{3}$；
（3）∵拋物線y=ax²-4ax+3過(guò)點(diǎn)（2，-1），
∴a=1，
∴y=x²-4x+3，
∴P（b，b²-4b+3），
∴直線AP的解析式為y=bx+3-4b，
∴直線AP與y軸的交點(diǎn)為M（0，3-4b），
∴S_△AOM=$\frac{1}{2}$|3-4b|×4=2|3-4b|，
S_△POM=$\frac{1}{2}$×|3-4b|×|b|，
①當(dāng)b＞0時(shí)，Ⅰ、當(dāng)0＜b＜4時(shí)，即：點(diǎn)P縱坐標(biāo)比點(diǎn)A的大時(shí)（點(diǎn)P在點(diǎn)A上方），
S_△AOP=S_△AOM-S_△POM=2|3-4b|-$\frac{1}{2}$|3-4b|×b=$\frac{35}{2}$，
（Ⅰ）、0＜b＜$\frac{3}{4}$時(shí)，b₁=-1（舍），b₂=$\frac{23}{4}$（舍），
（Ⅱ）、$\frac{3}{4}$＜b＜4時(shí)，方程無(wú)解，
Ⅱ、當(dāng)b＞4時(shí)，即：點(diǎn)P縱坐標(biāo)比點(diǎn)A的小時(shí)（點(diǎn)P在點(diǎn)下方），如圖，

S_△AOP=S_△POM-S_△AOM=$\frac{1}{2}$|3-4b|×b-2|3-4b|=$\frac{1}{2}$（4b-3）×b-2（4b-3）=$\frac{35}{2}$，
∴b₁=-1（舍）或b₂=$\frac{23}{4}$，
②當(dāng)b＜0時(shí)，3-4b＞0，
∴S_△AOP=S_△AOM+S_△POM=2|3-4b|+$\frac{1}{2}$|3-4b|×（-b）=$\frac{35}{2}$，
∴2（3-4b）+$\frac{1}{2}$（3-4b）×b=$\frac{35}{2}$，
∴4b²-19b-23=0，
b₁=-1，b₂=$\frac{23}{4}$（舍），
∴b=-1，
即：a=1，b=-1或$\frac{23}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形相似的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，求點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題關(guān)鍵．