Question

已知點M（p，q）在拋物線y=x²-1上，若以M為圓心的圓與x軸有兩個交點A、B，且A、B兩點的橫坐標是關于x的方程x²-2px+q=0的兩根．
（1）當M在拋物線上運動時，⊙M在x軸上截得的弦長是否變化？為什么？
（2）若⊙M與x軸的兩個交點和拋物線的頂點C構成一個等腰三角形，試求p、q的值．

Answer 1

分析：（1）設A、B兩點的橫坐標分別是x₁、x₂，將AB用|x₁-x₂|表示，再轉化為一元二次方程根與系數(shù)的關系，用系數(shù)p、q來表示，從而得到AB的長度變化情況；
（2）根據(jù)y=x²-1，求出C點坐標為（0，-1），根據(jù)兩點間距離公式求出BC、AC的長，由（1）又知AB的長，然后分類討論構成等腰三角形的情況，求出p、q的值．

解答：解：（1）設A、B兩點的橫坐標分別是x₁、x₂，由根與系數(shù)的關系知x₁+x₂=2p，x₁•x₂=q，
那么：AB=|x1-x2|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

p2-q

，
又因為M在拋物線y=x²-1上，所以q=p²-1．故AB=2，即⊙M在x軸上截得的弦長不變．

（2）C（0，-1），BC=

x22+1

，AC=

x12+1

，
①當AC=BC，即x₁=-x₂時，p=0，q=-1；
②當AC=AB時，x12+1=4，x1=±

3

，p=1+

3

，q=3+2

3

或p=1-

3

，q=3-2

3

；
③當BC=AB時，x2=±

3

，p=-

3

-1，q=3+2

3

或p=

3

-1，q=3-2

3

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)與一元二次方程的關系、圓的弦長、兩點間的距離公式及等腰三角形的性質等內容，綜合性較強，考查了同學們的綜合運用能力．