Question

一個圓內接正三角形面積為16cm²，求（1）這個圓的半徑；（2）這個圓的外切正三角形面積？

Answer 1

解：（1）如圖（1），
O為△ABC的中心，
AD為△ABC的邊BC上的高，
則OD為邊心距，
∴∠BAD=30°，
又∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAD=30°，
∴∠OBD=60°-30°=30°，
在Rt△OBD中，
BO=2DO，
即AO=2DO，
∴OD：OA：AD=1：2：3．
在正△ABC中，AD是高，設BD=x，則AD=BD•tan60°=BD=x．
∵正三角形ABC面積為16cm²，
∴BC•AD=16，
∴×2x•x=16，
∴x=4．
即BD=4，則AD=4，
∵OD：OA：AD=1：2：3，
∴AO=4×=cm．
即這個圓的半徑為cm．

（2）如圖（2），
∵OD=，∠OAD=30°，
∴AD=OD•tan30°=×=，
∴S_△ABC=6S_△AOD=6×××=cm²．
分析：（1）利用三角形半徑和邊心距的關系，求出半徑和邊心距及三角形的高的比，根據比例設出邊心距，再表示出三角形的高，即可列方程解答；（2）根據（1）的結論，結合直角三角形的性質求出AD的長，即可求出三角形的面積．
點評：此題考查了圓的內接三角形和外切三角形，根據正三角形的性質和三角函數，求出半徑和邊心距的長是解題的關鍵．