Question

已知在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為A（3，0）、B（O，4），點C的坐標為C（-2，O），點P是直線AB上的一動點，直線CP與y軸交于點D．
（1）當CP⊥AB時，求OD的長；
（2）當點P沿直線AB移動時，以點P為圓心，以AB為直徑作⊙P，過點C作⊙P的兩條切線，切點分別為點E、F．
①若⊙P與x軸相切；求CE的長；
②當點P沿直線AB移動時，請?zhí)角笫欠翊嬖谒倪呅蜟EPF的最小面積S？若存在，請求出S的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點A、B、C的坐標求出AB、OA、OB的長度，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得出OD的長；
（2）①先求出直線AB的解析式，然后設出點P的坐標，根據(jù)切線的定義可得點P的縱坐標的長度等于⊙P的半徑，然后求解得到x的值，即可得解；
②根據(jù)點P的坐標，利用兩點間的距離公式求出PC的長度，再利用勾股定理表示出CE，然后根據(jù)切線長定理可得四邊形CEPF的面積等于△PCE的面積的2倍，然后根據(jù)三角形的面積公式列式并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）如圖1，∵點A、B的坐標分別為A（3，0）、B（O，4），
∴AB=5，
∵點C的坐標為C（-2，O），
∴AC=5，
∴AB=5=AC．
在△AOB和△APC中，

∠BOA=∠APC ∠OAB=∠PAC AB=AC

，
∴△AOB≌△APC（AAS），
∴AP=OA=3，CP=OB=4，
∴BP=OC=2，
在△BDP和△CDO中

∠BDP=∠CDO ∠DPB=∠DOC BP=CO

，
∴△BDP≌△CDO（AAS），
∴DP=OD，
設DP=OD=x，則CD=4-x，
故x²+2²=（4-x）²，
解得：x=

3

2

，即OD=

3

2

；

（2）①如圖（2）①，設AB解析式為y=ax+b，將A（3，0）、B（O，4），代入得出：

3a+b=0 b=4

，
解得：

a=- 4 3 b=4

，
∴AB的解析式為y=-

4

3

x+4，
設點P的坐標為（x，-

4

3

x+4），
∵⊙P與x軸相切，
∴|-

4

3

x+4|=

AB

2

=

5

2

，
即-

4

3

x+4=

5

2

或-

4

3

x+4=-

5

2

，
解得x=

9

8

或x=

39

8

，
所以，CE=

9

8

-（-2）=

9

8

+2=

25

8

，
或CE=

39

8

-（-2）=

39

8

+2=

55

8

；

②如圖（2）②
∵點P（x，-

4

3

x+4），C（-2，0），
∴PC=

(x+2)2+(- 4 3 x+4-0)2

，
∵⊙P的半徑為

AB

2

=

5

2

，
∴根據(jù)勾股定理得，CE=

PC2-PE2

=

(x+2)2+(- 4 3 x+4)2-( 5 2 )2

=

( 5 3 x-2)2+ 39 4

，
根據(jù)切線長定理，△PCE與△PCF關于直線PC成軸對稱，
則四邊形CEPF的面積=2S_△PCE=2×

1

2

•

( 5 3 x-2)2+ 39 4

×

5

2

=

5

2

( 5 3 x-2)2+ 39 4

，
當

5

3

x-2=0，即x=

6

5

時，四邊形CEPF的面積有最小值，最小值為

5

2

×

39 4

=

5 39

4

．

點評：本題考查了一次函數(shù)的問題，主要涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，切線長定理以及兩點間的距離公式，二次函數(shù)的最值問題，利用直線解析式設出點P的坐標是解題的關鍵，本題運算量較大，比較復雜，計算時要仔細認真．