Question

12．閱讀材料：大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)讀書時(shí)曾經(jīng)研究過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：1+2+3+…+100=？經(jīng)過(guò)研究，這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），其中n是正整數(shù)．現(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類似的問(wèn)題：1×2+2×3+…n（n+1）=？
觀察下面三個(gè)特殊的等式：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）
將這三個(gè)等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20
讀完這段材料，請(qǐng)你思考后回答：
（1）1×2+2×3+…+100×101=343400；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）．
（只需寫出結(jié)果，不必寫中間的過(guò)程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三個(gè)特殊等式相加的結(jié)果，代入熟記進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）先對(duì)特殊等式進(jìn)行整理，從而找出規(guī)律，然后把每一個(gè)算式都寫成兩個(gè)兩個(gè)算式的運(yùn)算形式，整理即可得解；
（3）根據(jù)（2）的求解規(guī)律，利用特殊等式的計(jì)算方法，先把每一個(gè)算式分解成兩個(gè)算式的運(yùn)算形式，整理即可得解．

解答 解：∵1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20，即1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×（3+1）×（3+2）=20
∴（1）原式=$\frac{1}{3}$×100×（100+1）×（100+2）=$\frac{1}{3}$×100×101×102=343400；
（2）原式=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）原式=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案為：343400；$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）．

點(diǎn)評(píng) 考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，能從材料中獲取所需的信息和解題方法是需要掌握的基本能力．
要注意：連續(xù)的整數(shù)相乘的進(jìn)一步變形，即n（n+1）=$\frac{1}{3}$[n（n+2）-n（n+1）（n-1）]；
n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$[n（n+1）（n+2）（n+3）-n（n-1）（n+1）（n+2）]．