Question

9．重慶市銅梁區(qū)政府為做大鄉(xiāng)村旅游，打造了“五朵金花”，其中西邊A處有“萬(wàn)畝生態(tài)濕地荷花園”，東邊B處有“沙心玫瑰園”，為了落實(shí)這一舉措，區(qū)政府計(jì)劃在A、B兩旅游景點(diǎn)之間修建一條公路AB，已知公路AB的一側(cè)有“四季花�！本包c(diǎn)C，在公路AB上的M處測(cè)得景點(diǎn)C在M的北偏東53°方向上，從M向東走300米到達(dá)N處，測(cè)得景點(diǎn)C在N的東北方向上，且景點(diǎn)C周圍800米范圍內(nèi)為“四季花海”．
（1）為了保護(hù)“四季花�！辈槐恍藿ü�路破壞，那么修建的公路AB是否需要改造？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）求點(diǎn)M到景點(diǎn)C的距離是多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

Answer 1

分析 （1）過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB，CD就是所求的線段，由于CD是△CDN與△CDM的公共直角邊，可用CD表示出MD，ND，然后根據(jù)MN的長(zhǎng)，來(lái)求出CD的長(zhǎng)，然后與800米比較即可；
（2）在直角△CDM中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義可得MC=$\frac{CD}{sin∠CMD}$，代入數(shù)值計(jì)算即可．

解答 解：（1）修建的公路AB不需要改造．理由如下：
如圖，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB于D，
由題可知：∠CND=45°，∠CMD=90°-53°=37°．
設(shè)CD=x千米，tan∠CMD=$\frac{CD}{MD}$，
則MD=$\frac{x}{tan37°}$．
tan∠CND=$\frac{CD}{ND}$，
則ND=$\frac{CD}{tan45°}$=x，
∵M(jìn)N=300米，
∴MD-ND=MN，即tan37°x-x=300，
∴$\frac{x}{0.75}$-x=300，
解得 x=900．
∵900米＞800米，
∴修建的公路AB不需要改造；

（2）在直角△CDM中，∵∠CDM=90°，∠CMD=37°，CD=900千米，
∴MC=$\frac{CD}{sin∠CMD}$≈$\frac{900}{0.60}$=1500（米）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．解直角三角形的應(yīng)用關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形，如果有共用直角邊的，可以利用公共邊來(lái)進(jìn)行求解．