Question

16．已知△ABC中，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，將△AEC沿CE所在的直線折疊得△A′EC，BF∥AC，交直線A′C于F．
（1）如圖（1），若∠ACB=90°，∠A=30°，BC=$\sqrt{3}$，求A′F的長(zhǎng)．
（2）如圖（2），若∠ACB為任意角，已知A′F=a，求BF的長(zhǎng)（用a表示）
（3）如圖（3），若∠ACB為任意角，猜想出AC、CF、BF之間的數(shù)量關(guān)系：AC=CF-BF，并說(shuō)明理由．
（4）如圖（4），若∠ACB=120°，BF=8，BC=5，則AC的長(zhǎng)為15．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折得出AC=A'C，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（2）連接A′B，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AE=BE，從而得到BE=A′E，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠EA′B=∠EBA′，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠A=∠ABF，然后求出∠FA′B=∠FBA′，根據(jù)等角對(duì)等邊可得A′F=BF；
（3）圖（3）連接A′B，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AE=BE，從而得到BE=A′E，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠EA′B=∠EBA′，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠A=∠ABF，然后求出∠FA′B=∠FBA′，根據(jù)等角對(duì)等邊可得A′F=BF，再根據(jù)A′C=CF-A′F整理即可得證；
（4）連接A′B，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠CBF=60°，然后解直角三角形求出BG、FG，再求出CG，然后利用勾股定理列式求出CF，再根據(jù)AC=CF+BF代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）將△ABC沿CE所在的直線折疊得△A′EC，
∴AC=A'C，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=$\sqrt{3}$，
∴AC=A'C=3，
∵BC=$\sqrt{3}$，
∴CF=2，
∴A′F=3-2=1；
（2）如圖（2），連接A′B，

由翻折的性質(zhì)得，A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，
∵點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
∴BE=A′E，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A+∠ABF=180°，
∵∠CA′E+∠EA′F=180°，
∴∠ABF=∠EA′F，
∵∠FA′B=∠EA′F-∠EA′B，
∠FBA′=∠ABF-∠EBA′，
即∠FA′B=∠FBA′，
∴A′F=BF=a；
（3）如圖（3），連接A′B，

由翻折的性質(zhì)得，A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，
∵點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
∴BE=A′E，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A+∠ABF=180°，
∵∠CA′E+∠EA′F=180°，
∴∠ABF=∠EA′F，
∵∠FA′B=∠EA′F-∠EA′B，
∠FBA′=∠ABF-∠EBA′，
即∠FA′B=∠FBA′，
∴A′F=BF，
∵A′C=CF-A′F，
∴AC=CF-BF；
故答案為：AC=CF-BF；
（4）解：如圖（4），連接A′B，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，

∵BF∥AC，∠ACB=120°，
∴∠CBF=180°-120°=60°，
∴BG=BF•cos60°=8×$\frac{1}{2}$=4，F(xiàn)G=BF•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴CG=BC-BG=5-4=1，
在Rt△CGF中，CF=$\sqrt{F{G}^{2}+C{G}^{2}}=\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}=7$，
∴AC=BF+CF=8+7=15．
故答案為：15

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換，平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．