Question

將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長(zhǎng)直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合，已知AB=2，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠ABC的平分線上時(shí)，連接DP，求DP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)PD=BC時(shí)，求此時(shí)∠PDA的度數(shù)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以D、P、B、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上？求出此時(shí)□DPBQ的面積。

Answer 1

解：在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°， ∴BC=，AC=3， （1）如圖（1），作DF⊥AC， ∵Rt△ACD中，AD=CD， ∴DF=AF=CF=， ∵BP平分∠ABC， ∴∠PBC=30°， ∴CP=BC·tan30°=1， ∴PF=， ∴DP==。
（2）當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（2）所示時(shí)，根據(jù)（1）中結(jié)論，DF=，∠ADF=45°， 又PD=BC=， ∴cos∠PDF==， ∴∠PDF=30°， ∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°， 當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（3）所示時(shí)，同（2）可得∠PDF=30°， ∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°；
（3）CP=， 在□DPBQ中，BC∥DP， ∵∠ACB=90°， ∴DP⊥AC， 根據(jù)（1）中結(jié)論可知，DP=CP=， ∴S□DPBQ==。