Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+x+c經(jīng)過直線y=2x+4與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)B、C，它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)。
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），若過動(dòng)點(diǎn)M的直線ME∥BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)E，試問拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）如圖（2），若過動(dòng)點(diǎn)M的直線MD∥AC交直線BC于點(diǎn)D，連接CM，當(dāng)△CDM的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）∵直線y=2x+4與坐標(biāo)軸交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（0，4） ， 解得a=-，c=4， ∴拋物線解析式y(tǒng)=-x2+x+4， ∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0）； （2）由（1）可知，點(diǎn)N坐標(biāo)為（1，0），設(shè)點(diǎn)M（m，0）， ∵直線ME∥BC， ∴直線M的解析式為y=2（x-m）=2x-2m， 將x=1代入上式，得y=2-2m， ∴E（1，2-2m） 假設(shè)存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形，  ∴F（2-m，2-2m）或F（m，2-2m）， ∵F點(diǎn)在拋物線上， ∴2-2m=-（2-m）2+2-m+4或2-2m=-m2+m+4， 整理，得m2-6m-4=0， 解之，得m ∵點(diǎn)M為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)， ∴-2＜m＜4； ∴ ∴

（3）如圖DE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè) M（x，0），則BM=x+2， ∵DM∥CA， ∴△DM∽△BCA， ∴ 即DE=（x+2）=x+ S△CDM=S△BCM-S△BDM =BM·CO-BM·DE =（x+2）×4-（x+2）（x+） =-（x-1）2+3 ∵點(diǎn)M為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)， ∴-2＜x＜4， ∴當(dāng)x=1時(shí)，S最大值=3，此時(shí)M（1，0）。