Question

如圖①，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，且AB=AC，P是弧AC上的一點(diǎn)，（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連接AP、BP、CP，在BP上截取BD=AP，連接CD．若∠APB=60°，解答下列問(wèn)題：
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）求證：△CDP是等邊三角形；
（3）如圖②，若點(diǎn)D和圓心O重合，AB=2，則PC的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）如圖①，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=∠APB=60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法易得△ABC是等邊三角形；
（2）如圖①，由△ABC是等邊三角形得BC=AC，再利用“SAS”證明△BCD≌△APC，得到CD=CP，∠BCD=∠ACP，接著證明∠DCP=60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法易得△CDP是等邊三角形；
（3）如圖②，由BP為直徑，根據(jù)圓周角定理得∠PCB=90°，再利用△CDP是等邊三角形得到∠OPC=60°，則∠PBC=30°；由于△ABC是等邊三角形，則BC=AB=2，然后在Rt△PBC中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出PC的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：如圖①，
∵∠ACB=∠APB=60°，
而AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形；
（2）證明：如圖①，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，
在△BCD和△APC中，

BD=AP ∠DBC=∠PAC BC=AC

，
∴△BCD≌△APC（SAS），
∴CD=CP，∠BCD=∠ACP，
∵∠BCD+∠ACD=60°，
∴∠ACP+∠ACD=60°，即∠DCP=60°，
∴△CDP是等邊三角形；
（3）解：如圖②，
∵點(diǎn)D和圓心O重合，即BP為直徑，
∴∠PCB=90°，
∵△CDP是等邊三角形，
∴∠OPC=60°，
∴∠PBC=30°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB=2，
在Rt△PBC中，∵∠PBC=30°，
∴PC=

3

3

BC=

2 3

3

．
故答案為

2

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用三角形全等證明線段相等或角相等；會(huì)運(yùn)用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行幾何計(jì)算．