Question

4．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)教學(xué)活動小組，為測量數(shù)學(xué)樓后面的山高AB，用了如下方法．如圖所示，在教學(xué)樓底C處測得山頂A的仰角為60°，在教學(xué)樓頂D處，測得山頂A的俯角為45°．已知教學(xué)樓高CD=12米，求山高AB．（結(jié)果可化為最簡根式）

Answer 1

分析 過D作AB的垂線，設(shè)垂足為E．在Rt△ABC中，可用AB表示出BC的長，進而可在Rt△ADE中，表示出AE的長；根據(jù)BE=AB-AE=12，即可求出山高AB的長度．

解答 解：過D作DE⊥AB于E，則DE∥BC．
設(shè)AB=h米．
在Rt△ABC中，BC=h•cot60°=h•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$h．   
在Rt△AED中，AE=DEtan45°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$h．             
又∵AB-AE=BE=CD=12，
∴h-$\frac{\sqrt{3}}{3}$h=12，
解得h=$\frac{12}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{36}{3-\sqrt{3}}$=18+6$\sqrt{3}$．                      
答：山高AB是（18+6$\sqrt{3}$）米．

點評 考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解直角梯形可以通過作高線轉(zhuǎn)化為解直角三角形和矩形的問題．