Question

18．若關(guān)于x的一元二次方程-x²+2ax+2-a=0的一根x₁≥1，另一根x₂≤-1，則拋物線y=-x²+2ax+2-a的頂點(diǎn)到x軸距離的最小值是$\frac{16}{9}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程-x²+2ax+2-a=0的一根x₁≥1，另一根x₂≤-1求出a的取值范圍，再得出拋物線y=-x²+2ax+2-a頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)表達(dá)式，把a(bǔ)的取值代入即可．

解答 解：∵關(guān)于x的一元二次方程-x²+2ax+2-a=0的一根x₁≥1，另一根x₂≤-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）≥0\\ f（-1）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-1+2a+2-a≥0\\-1-2a+2-a≥0\end{array}\right.$，解得-1≤a≤$\frac{1}{3}$．
∵拋物線y=-x²+2ax+2-a的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)=$\frac{-4（2-a）-4{a}^{2}}{-4}$=2-a+a²，
當(dāng)a=-1時，2-a+a²=2+1+4=7；
當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時，2-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{16}{9}$，
∵7＞$\frac{16}{9}$，
∴頂點(diǎn)到x軸距離的最小值是$\frac{16}{9}$．
故答案為：$\frac{16}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知一元二次方程的根與拋物線與x軸的交點(diǎn)之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．