Question

7．己知點(diǎn)（$\frac{6}{p}$，$\frac{p}{2}$）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，A，B為該函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AB并延長(zhǎng)交y軸于C，過(guò)A作AD垂直y軸于D，已知AB=CB，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m．
（1）求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）聯(lián)結(jié)BD，若∠ADB=45°，求m．

Answer 1

分析 （1）作BE⊥y軸于E，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征求出k的值，根據(jù)題意求出A、B的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，得到點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；
（2）作BF⊥DA于F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）作BE⊥y軸于E，
∵點(diǎn)（$\frac{6}{p}$，$\frac{p}{2}$）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=$\frac{6}{p}$×$\frac{p}{2}$=3，
∵BE∥AD，AB=CB，
∴AD=2BE，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m．
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2m，
則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{m}$，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{2m}$．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{m}$），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2m，$\frac{3}{2m}$），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=\frac{3}{m}}\\{2mk+b=\frac{3}{2m}}\end{array}\right.$，
解得，k=-$\frac{3}{2m}$，b=$\frac{9}{2m}$，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為$\frac{9}{2m}$；
（2）作BF⊥DA于F，
∵∠ADB=45°，BF⊥DA，
∴DF=BF，
即$\frac{3}{m}$-$\frac{3}{2m}$=m，
解得，m₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，m₂=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$（舍去），
∴m=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的關(guān)系，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形中位線定理，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．