Question

如圖，一次函數(shù)y=-4x-4的圖象與x軸、y軸分別交于A、C兩點，拋物線y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過A、C兩點，且與x軸交于點B。
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為D，求四邊形ABDC的面積；
（3）作直線MN平行于x軸，分別交線段AC、BC于點M、N，問在x軸上是否存在點P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有滿足條件的P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）對于一次函數(shù)y=-4x-4， 令x=0，得y=-4， 故點C的坐標(biāo)為（0，-4）， 令y=0，得x=-1， 故點A的坐標(biāo)為（-1，0）， 把A、C兩點坐標(biāo)代入y=x2+bx+c得 ∴ 解得 ∴y=x2-x-4；
（2）∵ ∴頂點為D（1，-）， ∵A、B兩點關(guān)于對稱軸x=1對稱， ∴點B的坐標(biāo)為（3，0）， 設(shè)直線DC交x軸于點E， 如圖1， 由D（1，-）C （0，-4）， 易求直線CD的解析式為y=-x-4易求E（-3，0），    S四邊形ABDC=S△EDB-S△ECA=12；	圖1
（3）存在， ∵MN∥x軸， ∴△CMN∽△CAB， ∴ （a）當(dāng)MP=MN或NP=MN時， 設(shè)MN=a， 如圖2 即， ∴a=2， ① 當(dāng)∠PMN=90°時， ∵MP∥OC， ∴△AMP∽△ACO ∴， 即， ∴OP=0.5， ∴P1的坐標(biāo)為（-0.5，0）， ② 當(dāng)∠PNM=90°時， ∵NP∥OC， ∴△BNP∽△BCO， ∴， 即， ∴OP=1.5， ∴P2的坐標(biāo)為（1.5，0） （b）當(dāng)∠MPN=90°，PM=PN時， 如圖3， 過點P作PQ⊥MN，垂足為Q， 則PQ=QM=QN， 設(shè)PQ=d，則QM=QN=d，MN=2d 則=（已證）即  d=， 過點N作NG⊥x軸，垂足為G， 則PQ=GN=QN=PG= ∴NG∥OC， ∴△BNG∽△BCO ∴， 即， ∴BG=1， ∴OP=OB-BG-PG=3-1-， ∴P3的坐標(biāo)為（，0）， 綜上（a）、（b），存在滿足條件的點P有3個，坐標(biāo)分別是 P1（-0.5，0）、P2（1.5，0）、P3（，0）。	圖3 圖3