Question

如圖，直線(xiàn)y=-

3

4

x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)；直線(xiàn)y=

5

4

x與AB交于點(diǎn)C，與過(guò)點(diǎn)A且平行于y軸的直線(xiàn)交于點(diǎn)D．點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)，分別交直線(xiàn)AB、OD于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜t＜5時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
（3）當(dāng)t＞0時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)（4，

9

2

）在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）簡(jiǎn)單求兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，建立二元一次方程組，得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系把s用t表示，注意當(dāng)MN在AD上時(shí)，這一特殊情況，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題；
（3）求定點(diǎn)在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)，t的范圍，點(diǎn)E在x軸上運(yùn)動(dòng)，要用到分類(lèi)討論．

解答：解：（1）解方程

y=- 3 4 x+6 y= 5 4 x

解得：

x=3 y= 15 4

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)（3，

15

4

）；

（2）直線(xiàn)y=-

3

4

x+6與x軸交于A點(diǎn)，
令0=-

3

4

x+6，
解得x=8，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0），
∵AE=t，
∴OE=8-t，
∴在直線(xiàn)y=-

3

4

x+6上，
當(dāng)x=8-t時(shí)，y=-

3

4

（8-t）+6，
所以P（8-t，

3

4

t），Q（8-t，10-

5

4

t）在直線(xiàn)y=

5

4

x上，
當(dāng)x=8-t時(shí)，
PQ=10-

5

4

t-

3

4

t=10-2t，
所以當(dāng)0＜t＜5時(shí)，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=（10-2t）t，
即S=-2t²+10t；
二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)
當(dāng)t=-t=-

b

2a

=

5

2

時(shí)，S=

4ac-b2

4a

=

25

2

，
所以S的最大值是S=

25

2

；

（3）當(dāng)t=5時(shí)，PQ=0，P，Q，C三點(diǎn)重合；
當(dāng)t＜5時(shí)，知OE=4時(shí)是臨界條件，即8-t=4
即t=4
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為5＞

9

2

，
點(diǎn)（4，

9

2

）在正方形邊界PQ上，E繼續(xù)往左移動(dòng)，則點(diǎn)（4，

9

2

）進(jìn)入正方形內(nèi)部，但點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)再減少，當(dāng)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

9

2

時(shí)，OE=

18

5

∴8-t=

18

5

即t=

22

5

，
此時(shí)OE+PN=

18

5

+（10-2t）=

24

5

＞4滿(mǎn)足條件，
∴4＜t＜

22

5

，
當(dāng)t＞5時(shí)，由圖和條件知，則有E（t-8，0），PQ=2t-10要滿(mǎn)足點(diǎn)（4，

9

2

）在正方形的內(nèi)部，
則臨界條件N點(diǎn)橫坐標(biāo)為4?4=PQ+OE=|2t-10|+|t-8|=3t-18
即t=6，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：-

3

4

×2+6=

9

2

．滿(mǎn)足條件，
∴t＞6．
綜上所述：4＜t＜

22

5

或t＞6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)基本性質(zhì)，求函數(shù)最值問(wèn)題，第三問(wèn)考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，求t的范圍，觀察圖形，搞清幾何坐標(biāo)，理清思路，又運(yùn)用分類(lèi)討論思想．