Question

14．如圖，四邊形ABCD是矩形，△ABD沿AD方向平移得△A₁B₁D₁，點(diǎn)A₁在AD邊上，A₁B₁與BD交于點(diǎn)E，D₁B₁與CD交于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形EB₁FD是平行四邊形；
（2）若AB=3，BC=4，AA₁=1，求B₁F的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明四邊形EB₁FD是平行四邊形，只要證明DE∥B₁F，B₁E∥DF即可．
（2）由△CB₁F∽△CBD，得$\frac{C{B}_{1}}{CB}$=$\frac{{B}_{1}F}{BD}$由此即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵△A₁B₁D₁是由△ABD平移所得，
∴AB∥A₁B₁，BD∥B₁D₁，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴A₁B₁∥CD，
∴四邊形EB₁FD是平行四邊形．
（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∵AA₁=BB₁=1，
∴CB₁=3，
∵FB₁∥BD，
∴△CB₁F∽△CBD，
∴$\frac{C{B}_{1}}{CB}$=$\frac{{B}_{1}F}{BD}$，
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{{B}_{1}F}{5}$，
∴B₁F=$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平移變換、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用了平移的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．