Question

如圖，點F，G分別在△ADE的AD，DE邊上，C，B依次為GF延長線上兩點，AB=AD，∠BAF=∠CAE，∠B=∠D．
（1）求證：BC=DE；
（2）若∠B=35°，∠AFB=78°，直接寫出∠DGB的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵∠BAF=∠CAE，
∴∠BAF-∠CAF=∠CAE-∠CAF，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC=DE；
（2）解：∠DGB的度數(shù)為67°，理由為：
∵∠B=∠D，∠AFB=∠GFD，
∴△ABF∽△GDF，
∴∠DGB=∠BAD，
在△AFB中，∠B=35°，∠AFB=78°，
∴∠DGB=∠BAD=180°-35°-78°=67°．
分析：（1）由∠BAF=∠CAE，等式兩邊同時減去∠CAF，可得出∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，∠B=∠D，理由ASA得出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的對應邊相等可得證；
（2）由∠B=∠D，以及一對對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形ABF與三角形DGF相似，由相似三角形的對應角相等得到∠DGB=∠BAD，在三角形AFB中，由∠B及∠AFB的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAD的度數(shù)，進而得到∠DGB的度數(shù)．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．