Question

已知，如圖，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，

（1）求證：DE=DF．

（2）連接BC，求證：線(xiàn)段AD垂直平分線(xiàn)段BC．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．

【專(zhuān)題】證明題．

【分析】（1）連接AD，易證△ACD≌△ABD，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)可得∠EAD=∠FAD，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，即可解答；

（2）由△ACD≌△ABD（已證），得到DC=DB，所以點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上．又AB=AC，所以點(diǎn)A在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上，即可解答．

【解答】解：（1）如圖，連接AD．

在△ACD和△ABD中，

∴△ACD≌△ABD（SSS）．

∴∠FAD=∠EAD，

即AD平分∠EAF．

又∵DE⊥AE，DF⊥AF，

∴DE=DF．

（2）∵△ACD≌△ABD（已證）．

∴DC=DB，

∴點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上．

又∵AB=AC

∴點(diǎn)A在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上．

∵兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，

∴AD垂直平分BC．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線(xiàn)的性質(zhì)、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明△ACD≌△ABD．