Question

5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，點(diǎn)D在邊AC上且AD=$\frac{1}{4}$AC，連結(jié)BD，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，若BC=6，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn)，求點(diǎn)F運(yùn)動路徑的長度．

Answer 1

分析 根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得AC的長，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，可得EF的長，ED的長，根據(jù)勾股定理，可得AF的長，根據(jù)圓的周長公式，可得答案．

解答 解：如圖，
作FE∥BC，交AC于E，
由，∠ACB=90°，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，若BC=6，得
AC=2AC=12．
由點(diǎn)D在邊AC上且AD=$\frac{1}{4}$AC，得
AD=3，CD=12-3=9．
由FE∥BC，BC=6，CD=9，得
FE=$\frac{1}{2}$BC=3，CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{9}{2}$，∠FED=90°．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF=$\sqrt{E{F}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（3+\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{261}}{2}$，
由線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，得
AF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，即F點(diǎn)的軌跡是以A點(diǎn)為圓心的圓，
點(diǎn)F運(yùn)動路徑的長度2πr=2π×$\frac{\sqrt{261}}{2}$=$\sqrt{261}$π．

點(diǎn)評 本題考查了軌跡，利用三角形的中位線得出EF的長，ED的長是解題關(guān)鍵．