Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，cm，OC=8cm，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、C同時(shí)出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)、設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面積S；
（2）求證：四邊形OPBQ的面積是一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值；
（3）當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí)，拋物線經(jīng)過B、P兩點(diǎn)，過線段BP上一動(dòng)點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于N，當(dāng)線段MN的長取最大值時(shí)，求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比．

Answer 1

（1）解：∵CQ=t，OP=t，CO=8，
∴OQ=8﹣t．
∴S_△OPQ=（0＜t＜8）；
（2）證明：∵S_{四邊形OPBQ}=S_矩形ABCO﹣S_△PAB﹣S_△CBQ==32；
∴四邊形OPBQ的面積為一個(gè)定值，且等于32；
（3）解：當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí)，△QPB必須是一個(gè)直角三角形，依題意只能是∠QPB=90°，
又∵BQ與AO不平行，
∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ，
∴根據(jù)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP
∴=，
∴，
解得：t=4，經(jīng)檢驗(yàn)：t=4是方程的解且符合題意；（從邊長關(guān)系和速度考慮），
∴QO=4，
∴直線QB的解析式為：y=kx+b，
∴y=x+4，此時(shí)P（，0）；
∵B（，8）且拋物線經(jīng)過B、P兩點(diǎn)，
∴拋物線是，直線BP是：．
設(shè)M（m，）、N（m，）．
∵M(jìn)在BP上運(yùn)動(dòng)，
∴
∵與交于P、B兩點(diǎn)且拋物線的頂點(diǎn)是P；
∴當(dāng)時(shí)，y₁＜y₂
∴|MN|=|y₁﹣y₂|
=|m²﹣2m+8﹣（m﹣8）|
=m﹣8﹣（m²﹣2m+8）
=m﹣8﹣m²+2m﹣8
=﹣m²+3m﹣16
=，
∴當(dāng)時(shí)，MN有最大值是2；
∴設(shè)MN與BQ交于H點(diǎn)則，；
∴S_△BHM==
∴S_△BHM：S_{五邊形QOPMH}==3：29
∴當(dāng)MN取最大值時(shí)兩部分面積之比是3：29．