Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．

（1）請(qǐng)你按下面步驟畫(huà)圖（畫(huà)圖或作輔助線時(shí)先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）；

第一步，過(guò)點(diǎn)A作∠BAC的角平分線，交⊙O于點(diǎn)D；

第二步，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

第三步，連接BD．

（2）求證：DE是⊙O的切線；

（3）如圖AD=5，AE=4，求⊙O的直徑．

 

Answer 1

【答案】

（1）如下圖；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

 

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)基本作圖作出∠BAC的角平分線AD交⊙O于點(diǎn)D；點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為點(diǎn)E；

（2）連接OD，先根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得OA=OD，根據(jù)“等邊對(duì)等角”可得∠OAD=∠ODA，再結(jié)合AD平分∠BAC可得∠EAD=∠ODA，即可證得AC∥OD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可作出判斷；

（3）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ADB=90°，而DE⊥AC，則∠AED=90°，又由AD平分∠CAB得到△AED∽△ADB，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)果.

試題解析：（1）如圖所示：

（2）連接OD

∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠OAD

∴∠EAD=∠ODA

∴AC∥OD

∵DE⊥AC

∴∠EDO=90°

∴DE是⊙O的切線；

（3）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB，

∴Rt△ADE∽R(shí)t△ABD，

∴

∵AD=5，AE=4

∴，解得，即⊙O的直徑為．

考點(diǎn)：圓的綜合題