Question

7、自然數(shù)n的正約數(shù)共有10個(gè)，則n的最小值是

48

．

Answer 1

分析：根據(jù)正整數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)定理進(jìn)行解答，即一個(gè)整數(shù)N（N＞1），如果它的標(biāo)準(zhǔn)分解式為，那么它的約數(shù)個(gè)數(shù)為（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）．

解答：解：設(shè) 則n的正約數(shù)的個(gè)數(shù)=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k），
∵10=1×10=2×5，
∴（1+a₁）（1+a₂）=1×10或（1+a₁）（1+a₂）=2×5，
由 1+a₁=1得a₁=0，
1+a₂=10得a₂=9，
∴此時(shí)最小的n為：2⁹=512，
由1+a₁=2得a₁=1，
1+a₂=5得a₂=4，
∴此時(shí)最小的n為：2⁴×3¹=16×3=48，
因此，具有10個(gè)正約數(shù)的自然數(shù)n的最小值為48．
故答案為：48．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是質(zhì)因數(shù)的分解，熟知正整數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)定理是解答此題的關(guān)鍵．